生成扩散模型漫谈（十五）：构建ODE的一般步骤（中）
原文链接 | 2022-12-22 | 苏剑林
上周笔者写了《生成扩散模型漫谈（十四）：构建ODE的一般步骤（上）》（当时还没有“上”这个后缀），本以为已经窥见了构建ODE扩散模型的一般规律，结果不久后评论区大神 @gaohuazuo 就给出了一个构建格林函数更高效、更直观的方案，让笔者自愧不如。再联想起之前大神之前在《生成扩散模型漫谈（十二）：“硬刚”扩散ODE》同样也给出了一个关于扩散ODE的精彩描述（间接启发了上一篇博客的结果），大神的洞察力不得不让人叹服。
经过讨论和思考，笔者发现大神的思路本质上就是一阶偏微分方程的特征线法，通过构造特定的向量场保证初值条件，然后通过求解微分方程保证终值条件，同时保证了初值和终值条件，真的非常巧妙！最后，笔者将自己的收获总结成此文，作为上一篇的后续。
前情回顾#
简单回顾一下上一篇文章的结果。假设随机变量\(\boldsymbol{x}_0\in\mathbb{R}^d\)连续地变换成\(\boldsymbol{x}_T\)，其变化规律服从ODE
\[\begin{equation}\frac{d\boldsymbol{x}_t}{dt}=\boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}_t)\label{eq-ode}\end{equation}\]
那么对应的\(t\)时刻的分布\(p_t(\boldsymbol{x}_t)\)服从“连续性方程”：
\[\begin{equation}\frac{\partial}{\partial t} p_t(\boldsymbol{x}_t) = - \nabla_{\boldsymbol{x}_t}\cdot\Big(\boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}_t) p_t(\boldsymbol{x}_t)\Big)\label{eq:ode-f-eq-fp}\end{equation}\]
记\(\boldsymbol{u}(t, \boldsymbol{x}_t)=(p_t( \boldsymbol{x}_t), \boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}_t) p_t(\boldsymbol{x}_t))\in\mathbb{R}^{d+1}\)，那么连续性方程可以简写成
\[\begin{equation}\left\{\begin{aligned} &\nabla_{(t,\, \boldsymbol{x}_t)}\cdot\boldsymbol{u}(t, \boldsymbol{x}_t)=0 \\ &\boldsymbol{u}_1(0, \boldsymbol{x}_0) = p_0(\boldsymbol{x}_0),\int \boldsymbol{u}_1(t, \boldsymbol{x}_t) d\boldsymbol{x}_t = 1 \end{aligned}\right.\label{eq:div-eq}\end{equation}\]
为了求解这个方程，可以用格林函数的思想，即先求解
\[\begin{equation}\left\{\begin{aligned} &\nabla_{(t,\, \boldsymbol{x}_t)}\cdot\boldsymbol{G}(t, 0; \boldsymbol{x}_t, \boldsymbol{x}_0)=0\\ &\boldsymbol{G}_1(0, 0; \boldsymbol{x}_t, \boldsymbol{x}_0) = \delta(\boldsymbol{x}_t - \boldsymbol{x}_0),\int \boldsymbol{G}_1(t, 0; \boldsymbol{x}_t, \boldsymbol{x}_0) d\boldsymbol{x}_t = 1 \end{aligned}\right.\label{eq:div-green}\end{equation}\]
那么
\[\begin{equation}\boldsymbol{u}(t, \boldsymbol{x}_t) = \int \boldsymbol{G}(t, 0; \boldsymbol{x}_t, \boldsymbol{x}_0)p_0(\boldsymbol{x}_0) d\boldsymbol{x}_0 = \mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0\sim p_0(\boldsymbol{x}_0)}[\boldsymbol{G}(t, 0; \boldsymbol{x}_t, \boldsymbol{x}_0)]\label{eq:div-green-int}\end{equation}\]
就是满足约束条件的解之一。
几何直观#
所谓格林函数，其实思想很简单，它就是说我们先不要着急解决复杂数据生成，我们先假设要生成的数据只有一个点\(\boldsymbol{x}_0\)，先解决单个数据点的生成。有的读者想这不是很简单吗？直接\(\boldsymbol{x}_T\times 0 + \boldsymbol{x}_0\)就完事了？当然不是这么简单，我们需要的是连续的、渐变的生成，如下图所示，就是\(t=T\)上的任意一点\(\boldsymbol{x}_T\)，都沿着一条光滑轨迹运行到\(t=0\)的\(\boldsymbol{x}_0\)上：
而我们的目的，只是构造一个生成模型出来，所以我们原则上并不在乎轨迹的形状如何，只要它们都穿过\(\boldsymbol{x}_0\)，那么，我们可以人为地选择我们喜欢的、经过\(\boldsymbol{x}_0\)的一个轨迹簇，记为
\[\begin{equation}\boldsymbol{\varphi}_t(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0) = \boldsymbol{x}_T\label{eq:track}\end{equation}\]
再次强调，这代表着以\(\boldsymbol{x}_0\)为起点、以\(\boldsymbol{x}_T\)为终点的一个轨迹簇，轨迹自变量、因变量分别为\(t,\boldsymbol{x}_t\)，起点\(\boldsymbol{x}_0\)是固定不变的，终点\(\boldsymbol{x}_T\)是可以任意变化的，轨迹的形状是无所谓的，我们可以选择直线、抛物线等等。
现在我们对式\(\eqref{eq:track}\)两边求导，由于\(\boldsymbol{x}_T\)是可以随意变化的，它相当于微分方程的积分常数，对它求导就等于\(\boldsymbol{0}\)，于是我们有
\[\begin{equation}\frac{\partial \boldsymbol{\varphi}_t(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)}{\partial \boldsymbol{x}_t}\frac{d\boldsymbol{x}_t}{dt} + \frac{\partial \boldsymbol{\varphi}_t(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)}{\partial t} = \boldsymbol{0} \\ \Downarrow \\ \frac{d\boldsymbol{x}_t}{dt} = - \left(\frac{\partial \boldsymbol{\varphi}_t(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)}{\partial \boldsymbol{x}_t}\right)^{-1} \frac{\partial \boldsymbol{\varphi}_t(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)}{\partial t}\end{equation}\]
对比式\(\eqref{eq-ode}\)，我们就得到
\[\begin{equation}\boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0) = - \left(\frac{\partial \boldsymbol{\varphi}_t(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)}{\partial \boldsymbol{x}_t}\right)^{-1} \frac{\partial \boldsymbol{\varphi}_t(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)}{\partial t}\label{eq:f-xt-x0}\end{equation}\]
这里将原本的记号\(\boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}_t)\)替换为了\(\boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\)，以标记轨线具有公共点\(\boldsymbol{x}_0\)。也就是说，这样构造出来的力场\(\boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\)所对应的ODE轨迹，必然是经过\(\boldsymbol{x}_0\)的，这就保证了格林函数的初值条件。
特征线法#
既然初值条件有保证了，那么我们不妨要求更多一点：再保证一下终值条件。终值条件也就是希望\(t=T\)时\(\boldsymbol{x}_T\)的分布是跟\(\boldsymbol{x}_0\)无关的简单分布。上一篇文章的求解框架的主要缺点，就是无法直接保证终值分布的简单性，只能通过事后分析来研究。这篇文章的思路则是直接通过设计特定的\(\boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\)来保证初值条件，然后就有剩余空间来保证终值条件了。而且，同时保证了初、终值后，在满足连续性方程\(\eqref{eq:ode-f-eq-fp}\)的前提下，积分条件是自然满足的。
用数学的方式说，我们就是要在给定\(\boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\)和\(p_T(\boldsymbol{x}_T)\)的前提下，去求解方程\(\eqref{eq:ode-f-eq-fp}\)，这是一个一阶偏微分方程，可以通过“特征线法”求解，其理论介绍可以参考笔者之前写的《一阶偏微分方程的特征线法》。首先，我们将方程\(\eqref{eq:ode-f-eq-fp}\)等价地改写成
\[\begin{equation}\frac{\partial}{\partial t} p_t(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0) + \nabla_{\boldsymbol{x}_t}p_t(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0) \cdot \boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0) = - p_t(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0) \nabla_{\boldsymbol{x}_t}\cdot \boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\end{equation}\]
同前面类似，由于接下来是在给定起点\(\boldsymbol{x}_0\)进行求解，所以上式将\(p_t(\boldsymbol{x}_t)\)替换为\(p_t(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\)，以标记这是起点为\(\boldsymbol{x}_0\)的解。
特征线法的思路，是先在某条特定的轨迹上考虑偏微分方程的解，这可以将偏微分转化为常微分，降低求解难度。具体来说，我们假设\(\boldsymbol{x}_t\)是\(t\)的函数，在方程\(\eqref{eq-ode}\)的轨线上求解。此时由于成立方程\(\eqref{eq-ode}\)，将上式左端的\(\boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\)替换为\(\frac{d\boldsymbol{x}_t}{dt}\)后，左端正好是\(p_t(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\)的全微分，所以此时有
\[\begin{equation}\frac{d}{dt}p_t(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0) = - p_t(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0) \nabla_{\boldsymbol{x}_t}\cdot \boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\end{equation}\]
注意，此时所有的\(\boldsymbol{x}_t\)应当被替换为对应的\(t\)的函数，这理论上可以从轨迹方程\(\eqref{eq:track}\)解出。替换后，上式的\(p\)、\(\boldsymbol{f}\)都是纯粹\(t\)的函数，所以上式只是关于\(p\)的一个线性常微分方程，可以解得
\[\begin{equation}p_t(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0) = C \exp\left(\int_t^T \nabla_{\boldsymbol{x}_s}\cdot \boldsymbol{f}_s(\boldsymbol{x}_s|\boldsymbol{x}_0) ds\right)\end{equation}\]
代入终值条件\(p_T(\boldsymbol{x}_T)\)，得到\(C=p_T(\boldsymbol{x}_T)\)，即
\[\begin{equation}p_t(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0) = p_T(\boldsymbol{x}_T) \exp\left(\int_t^T \nabla_{\boldsymbol{x}_s}\cdot \boldsymbol{f}_s(\boldsymbol{x}_s|\boldsymbol{x}_0) ds\right)\label{eq:pt-xt-x0}\end{equation}\]
把轨迹方程\(\eqref{eq:track}\)的\(\boldsymbol{x}_T\)代入，就得到一个只含有\(t,\boldsymbol{x}_t,\boldsymbol{x}_0\)的函数，便是最终要求解的格林函数\(\boldsymbol{G}_1(t, 0; \boldsymbol{x}_t, \boldsymbol{x}_0)\)了，相应地有\(\boldsymbol{G}_{> 1}(t, 0; \boldsymbol{x}_t, \boldsymbol{x}_0)=p_t(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0) \boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\)。
训练目标#
有了格林函数，我们就可以得到
\[\begin{equation}\begin{aligned} \boldsymbol{u}_1(t, \boldsymbol{x}_t) =&\, \int p_t(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0) p_0(\boldsymbol{x}_0) d\boldsymbol{x}_0 = p_t(\boldsymbol{x}_t)\\ \boldsymbol{u}_{> 1}(t, \boldsymbol{x}_t) =&\, \int \boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0) p_t(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0) p_0(\boldsymbol{x}_0) d\boldsymbol{x}_0 \end{aligned}\end{equation}\]
于是
\[\begin{equation}\begin{aligned} \boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}_t)=&\,\frac{\boldsymbol{u}_{> 1}(t, \boldsymbol{x}_t)}{\boldsymbol{u}_1(t, \boldsymbol{x}_t)} \\ =&\,\int \boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0) \frac{p_t(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0) p_0(\boldsymbol{x}_0)}{p_t(\boldsymbol{x}_t)} d\boldsymbol{x}_0 \\ =&\,\int \boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0) p_t(\boldsymbol{x}_0|\boldsymbol{x}_t) d\boldsymbol{x}_0 \\ =&\,\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0\sim p_t(\boldsymbol{x}_0|\boldsymbol{x}_t)}\left[\boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\right] \end{aligned}\end{equation}\]
根据《生成扩散模型漫谈（五）：一般框架之SDE篇》中构建得分匹配目标的方法，可以构建训练目标
\[\begin{equation}\begin{aligned}&\,\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_t\sim p _t(\boldsymbol{x}_t)}\Big[\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0\sim p _t(\boldsymbol{x}_0|\boldsymbol{x}_t)}\left[\left\Vert \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t) - \boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\right\Vert^2\right]\Big] d\boldsymbol{x}_t \\ =&\, \mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{x}_t \sim p_t(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)p _0(\boldsymbol{x}_0)}\left[\left\Vert \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t) - \boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\right\Vert^2\right] \end{aligned}\label{eq:score-match}\end{equation}\]
它跟《Flow Matching for Generative Modeling》所给出的“Conditional Flow Matching”形式上是一致的，后面我们还会看到，该论文的结果都可以从本文的方法推出。训练完成后，就可以通过求解方程\(\frac{d\boldsymbol{x}_t}{dt}=\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)\)来生成样本了。从这个训练目标也可以看出，我们对\(p_t(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\)的要求是易于采样就行了。
一些例子#
可能前面的抽象结果对大家来说还是不大好理解，接下来我们来给出一些具体例子，以便加深大家对这个框架的直观理解。至于特征线法本身，笔者在《一阶偏微分方程的特征线法》也说过，一开始笔者也觉得特征线法像是“变魔术”一样难以捉摸，按照步骤操作似乎不困难，但总把握不住关键之处，理解它需要一个反复斟酌的思考过程，无法进一步代劳了。
直线轨迹#
作为最简单的例子，我们假设\(\boldsymbol{x}_T\)是沿着直线轨迹变为\(\boldsymbol{x}_0\)，简单起见我们还可以将\(T\)设为1，这不会损失一般性，那么\(\boldsymbol{x}_t\)的方程可以写为
\[\begin{equation}\boldsymbol{x}_t = (\boldsymbol{x}_1 - \boldsymbol{x}_0)t + \boldsymbol{x}_0\quad\Rightarrow\quad \frac{\boldsymbol{x}_t - \boldsymbol{x}_0}{t} + \boldsymbol{x}_0 = \boldsymbol{x}_1\label{eq:simplest-x1}\end{equation}\]
根据式\(\eqref{eq:f-xt-x0}\)，有
\[\begin{equation}\boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0) = \frac{\boldsymbol{x}_t - \boldsymbol{x}_0}{t}\end{equation}\]
此时\(\nabla_{\boldsymbol{x}_t}\cdot \boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)=\frac{d}{t}\)，根据式\(\eqref{eq:pt-xt-x0}\)就有
\[\begin{equation}p_t(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0) = \frac{p_1(\boldsymbol{x}_1)}{t^d}\end{equation}\]
代入式\(\eqref{eq:simplest-x1}\)中的\(\boldsymbol{x}_1\)，得到
\[\begin{equation}p_t(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0) = \frac{p_1\left(\frac{\boldsymbol{x}_t - \boldsymbol{x}_0}{t} + \boldsymbol{x}_0\right)}{t^d}\end{equation}\]
特别地，如果\(p_1(\boldsymbol{x}_1)\)是标准正态分布，那么上式实则意味着\(p_t(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)=\mathcal{N}(\boldsymbol{x}_t;(1-t)\boldsymbol{x}_0,t^2\boldsymbol{I})\)，这正好是常见的高斯扩散模型之一。这个框架的新结果，是允许我们选择更一般的先验分布\(p_1(\boldsymbol{x}_1)\)，比如均匀分布。另外在介绍得分匹配\(\eqref{eq:score-match}\)时也已经说了，对\(p_t(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\)我们只需要知道它的采样方式就行了，而上式告诉我们只需要先验分布易于采样就行，因为：
\[\begin{equation}\boldsymbol{x}_t\sim p_t(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\quad\Leftrightarrow\quad \boldsymbol{x}_t=(1-t)\boldsymbol{x}_0 + t\boldsymbol{\varepsilon},\,\boldsymbol{\varepsilon}\sim p_1(\boldsymbol{\varepsilon})\end{equation}\]
效果演示#
注意，我们假设从\(\boldsymbol{x}_0\)到\(\boldsymbol{x}_1\)的轨迹是一条直线，这仅仅是对于单点生成的，也就是格林函数解。当通过格林函数叠加出一般分布对应的的力场\(\boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}_t)\)时，其生成轨迹就不再是直线了。
下图演示了先验分布为均匀分布时多点生成的轨线图：
参考作图代码：
import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
matplotlib.rc('text', usetex=True)
matplotlib.rcParams['text.latex.preamble']=[r"\usepackage{amsmath}"]
prior = lambda x: 0.5 if 2 >= x >= 0 else 0
p = lambda xt, x0, t: prior((xt - x0) / t + x0) / t
f = lambda xt, x0, t: (xt - x0) / t
def f_full(xt, t):
x0s = [0.5, 0.5, 1.2, 1.7] # 0.5出现两次，代表其频率是其余的两倍
fs = np.array([f(xt, x0, t) for x0 in x0s]).reshape(-1)
ps = np.array([p(xt, x0, t) for x0 in x0s]).reshape(-1)
return (fs * ps).sum() / (ps.sum() + 1e-8)
for x1 in np.arange(0.01, 1.99, 0.10999/2):
ts = np.arange(1, 0, -0.001)
xs = odeint(f_full, x1, ts).reshape(-1)[::-1]
ts = ts[::-1]
if abs(xs[0] - 0.5) < 0.1:
_ = plt.plot(ts, xs, color='skyblue')
elif abs(xs[0] - 1.2) < 0.1:
_ = plt.plot(ts, xs, color='orange')
else:
_ = plt.plot(ts, xs, color='limegreen')
plt.xlabel('$t$')
plt.ylabel(r'$\boldsymbol{x}$')
plt.show()一般推广#
其实上面的结果还可以一般地推广到
\[\begin{equation}\boldsymbol{x}_t = \boldsymbol{\mu}_t(\boldsymbol{x}_0) + \sigma_t \boldsymbol{x}_1\quad\Rightarrow\quad \frac{\boldsymbol{x}_t - \boldsymbol{\mu}_t(\boldsymbol{x}_0)}{\sigma_t }= \boldsymbol{x}_1\end{equation}\]
这里的\(\boldsymbol{\mu}_t(\boldsymbol{x}_0)\)是任意满足\(\boldsymbol{\mu}_0(\boldsymbol{x}_0)=\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{\mu}_1(\boldsymbol{x}_0)=\boldsymbol{0}\)的\(\mathbb{R}^d\mapsto\mathbb{R}^d\)函数，\(\sigma_t\)是任意满足\(\sigma_0=0,\sigma_1=1\)的单调递增函数。根据式\(\eqref{eq:f-xt-x0}\)，有
\[\begin{equation}\boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0) = \dot{\boldsymbol{\mu}}_t(\boldsymbol{x}_0) + \frac{\dot{\sigma}_t}{\sigma_t}(\boldsymbol{x}_t - \boldsymbol{\mu}_t(\boldsymbol{x}_0))\end{equation}\]
这也等价于《Flow Matching for Generative Modeling》中的式\((15)\)，此时\(\nabla_{\boldsymbol{x}_t}\cdot \boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)=\frac{d\dot{\sigma}_t}{\sigma_t}\)，根据式\(\eqref{eq:pt-xt-x0}\)就有
\[\begin{equation}p_t(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0) = \frac{p_1(\boldsymbol{x}_1)}{\sigma_t^d}\end{equation}\]
代入\(\boldsymbol{x}_1\)，最终结果是
\[\begin{equation}p_t(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0) = \frac{p_1\left(\frac{\boldsymbol{x}_t - \boldsymbol{\mu}_t(\boldsymbol{x}_0)}{\sigma_t }\right)}{\sigma_t^d}\end{equation}\]
这是关于线性ODE扩散的一般结果，包含高斯扩散，也允许使用非高斯的先验分布。
再复杂些？#
前面的例子，都是通过\(\boldsymbol{x}_0\)（的某个变换）与\(\boldsymbol{x}_1\)的简单线性插值（插值权重纯粹是\(t\)的函数）来构建\(\boldsymbol{x}_t\)的变化轨迹。那么一个很自然的问题就是：可不可以考虑更复杂的轨迹呢？理论上可以，但是更高的复杂度意味着隐含了更多的假设，而我们通常很难检验目标数据是否支持这些假设，因此通常都不考虑更复杂的轨迹了。此外，对于更复杂的轨迹，解析求解的难度通常也更高，不管是理论还是实验，都难以操作下去。
更重要的一点的，我们目前所假设的轨迹，仅仅是单点生成的轨迹而已，前面已经演示了，即便假设为直线，多点生成依然会导致复杂的曲线。所以，如果单点生成的轨迹都假设得不必要的复杂，那么可以想像多点生成的轨迹复杂度将会奇高，模型可能会极度不稳定。
文章小结#
接着上一篇文章的内容，本文再次讨论了ODE式扩散模型的构建思路。这一次我们从几何直观出发，通过构造特定的向量场保证结果满足初值分布条件，然后通过求解微分方程保证终值分布条件，得到一个同时满足初值和终值条件的格林函数。特别地，该方法允许我们使用任意简单分布作为先验分布，摆脱以往对高斯分布的依赖来构建扩散模型。