能量视角下的GAN模型（一）：GAN＝挖坑＋跳坑
原文链接 | 2019-01-30 | 苏剑林
在这个系列中，我们尝试从能量的视角理解GAN。我们会发现这个视角如此美妙和直观，甚至让人拍案叫绝。
本视角直接受启发于Benjio团队的新作《Maximum Entropy Generators for Energy-Based Models》，这篇文章前几天出现在arxiv上。当然，能量模型与GAN的联系由来已久，并不是这篇文章的独创，只不过这篇文章做得仔细和完善一些。另外本文还补充了自己的一些理解和思考上去，力求更为易懂和完整。
作为第一篇文章，我们先来给出一个直白的类比推导：GAN实际上就是一场前仆后继（前挖后跳？）的“挖坑”与“跳坑”之旅～
总的来说，本文的大致内容如下：
1、给出了GAN/WGAN的清晰直观的能量图像；2、讨论了判别器（能量函数）的训练情况和策略；3、指出了梯度惩罚一个非常漂亮而直观的能量解释；4、讨论了GAN中优化器的选择问题。
前“挖”后“跳”#
在这部分中，我们以尽量通俗的比喻来解释什么是能量视角下的GAN。
首先我们有一批样本\(x_1,x_2,\dots,x_{n}\)，我们希望能找到一个生成模型，这个模型有能力造出一批新的样本\(\hat{x}_1,\hat{x}_2,\dots,\hat{x}_{n}\)，我们希望这批新样本跟原样本很相似。怎么造呢？很简单，分两步走。
“挖坑”#
第一步，挖坑：我们把真实样本\(x_1,x_2,\dots,x_{n}\)看成一个个坐标，在这些坐标处挖很多坑，这些坑的分布可以用一个能量函数\(U(x)\)描述，这样一来真实样本\(x_1,x_2,\dots,x_{n}\)相当于都被放在坑底了，然后我们再把造出来的假样本\(\hat{x}_1,\hat{x}_2,\dots,\hat{x}_{n}\)放到“坑腰”：
“跳坑”#
第二步，跳坑：把\(U(x)\)固定住，也就是不要再动坑了，然后把假样本\(\hat{x}_1,\hat{x}_2,\dots,\hat{x}_{n}\)松开，显然它们就慢慢从滚到坑底了，而坑底代表着真实样本，所以\(\hat{x}_1,\hat{x}_2,\dots,\hat{x}_{n}\)都变得很像真样本了：
这便是GAN的工作流程～
把GAN写下来#
注意，上述两步不仅仅是简单的比喻，而是GAN的完整描述了。根据上述两个步骤，我们甚至可以直接把GAN训练公式写出来。
判别器#
首先看“挖坑”，我们说了要将真样本放到坑底，假样本放到坑腰，以便后面假样本可以滚到坑底，这意味着假样本的“平均海拔”要高于真样本的“平均海拔”，也就是说
\[\begin{equation}\mathbb{E}_{x\sim p(x)}\big[U(x)\big] - \mathbb{E}_{x\sim q(x)}\big[U(x)\big]\label{eq:eq-e}\end{equation}\]
尽量小，这里我们用\(p(x)\)表示真实样本的分布，\(q(x)\)表示假样本的分布。假样本通过\(x=G(z)\)生成，而\(z\sim q(z)\)是标准正态分布。
梯度惩罚#
另外，我们还说真样本要在坑底，用数学的话说，坑底就是一个极小值点，导数等于0才好，即要满足\(\nabla_x U(x)=0\)是最理想的，换成优化目标的话，那就是\(\Vert \nabla_x U(x)\Vert^2\)越小越好。两者综合起来，我们就得到\(U\)的优化目标
\[\begin{equation}\begin{aligned}U =& \mathop{\text{argmin}}_{U}\mathbb{E}_{x\sim p(x)}\big[U(x)\big] - \mathbb{E}_{x\sim q(x)}\big[U(x)\big] + \lambda \mathbb{E}_{x\sim p(x)}\big[\Vert \nabla_x U(x)\Vert^2\big]\\ =& \mathop{\text{argmin}}_{U}\mathbb{E}_{x\sim p(x)}\big[U(x)\big] - \mathbb{E}_{z\sim q(z)}\big[U(G(z))\big] + \lambda \mathbb{E}_{x\sim p(x)}\big[\Vert \nabla_x U(x)\Vert^2\big] \end{aligned}\label{eq:eq-ee}\end{equation}\]
注：以往对于梯度惩罚，我们总会有两个困惑：1、梯度惩罚究竟是以0为中心好还是以1为中心好；2、梯度惩罚要对真样本、假样本还是真假插值样本进行？现在，基于能量视角，我们可以得到“对真样本进行以0为中心的梯度惩罚”比较好，因为这意味着（整体上）要把真样本放在极小值点处～至此，在能量视角下，我们对梯度惩罚有了一个非常直观的回答。
生成器#
然后看“跳坑”，也就是坑挖好了，\(U\)固定了，我们让假样本滚到坑底，也就是让\(U(x)\)下降，滚到最近的一个坑，所以
\[\begin{equation}G = \mathop{\text{argmin}}_{G}\mathbb{E}_{z\sim q(z)}\big[U(G(z))\big]\label{eq:eq-g}\end{equation}\]
可以看到，判别器实际上就是在“造势”，而生成器就是让势能最低，这便是能量GAN的主要思想～
交替训练#
如果真实情况的坑都像上面的图那么简单，那么可能就只需要两步就能训练完一个生成模型了。但是真实情况下的坑可能是很复杂的，比如下图中假样本\(\hat{x}_1\)慢慢下滑，并不一定能到达\(x_1\)的坑，而是到达一个中间的坑，这个中间的坑并非代表真样本，可能仅仅是“次真”的样本，所以我们需要不断地改进假样本，也需要不断地把坑修正过来（比如争取能下一步把阻碍前进的峰“削掉”）。这也就是说，我们需要反复、交替地执行\(\eqref{eq:eq-e},\eqref{eq:eq-g}\)两步。
坑的学问#
看，头脑中想象着几个坑，我们就可以把GAN的完整框架导出来了，而且还是先进的WGAN-GP的升级版：以0为中心的梯度惩罚。
GAN不过是一场坑的学问！
对这个GAN的进一步讨论，可以参考我之前写的博客《WGAN-div：一个默默无闻的WGAN填坑者》或者论文《Which Training Methods for GANs do actually Converge?》。
进一步思考#
上述图景还能帮助我们回答很多问题。比如判别器能不能不要梯度惩罚？为什么GAN的训练、尤其是生成器的训练多数都不用带动量的优化器，或者就算用带动量的优化器，也要把动量调小一点？还有mode collapse（模式坍缩）是怎么发生呢？
Hinge Loss#
梯度惩罚在理论上很漂亮，但是它确实太慢，所以从实践角度来看，其实能不用梯度惩罚的话最好不用梯度惩罚。但是如果不用梯度惩罚，直接最小化式\(\eqref{eq:eq-e}\)，很容易数值不稳定。
这不难理解，因为没有约束情况下，很容易对于真样本有\(U(x)\to -\infty\)，对于假样本有\(U(x)\to +\infty\)，也就是判别器优化得太猛了，差距拉得太大（无穷大）了。那么一个很自然的想法是，分别给真假样本分别设置一个阈值，\(U(x)\)的优化超过这个阈值就不要再优化了，比如：
\[\begin{equation}\mathbb{E}_{x\sim p(x)}\big[\max(0, 1+U(x))\big] + \mathbb{E}_{x\sim q(x)}\big[\max(0,1-U(x))\big]\label{eq:eq-e-hinge}\end{equation}\]
这样一来，对于\(x\sim p(x)\)，如果\(U(x) < -1\)，则\(\max(0, 1+U(x))=0\)，对于\(x\sim q(x)\)，\(U(x) > 1\)，则\(\max(0, 1-U(x))=0\)，这两种情况下都不会在优化\(U(x)\)了，也就是说对于真样本\(U(x)\)不用太小，对于假样本\(U(x)\)不用太大，从而防止了\(U(x)\)过度优化了。
这个方案就是SNGAN、SAGAN、BigGAN都使用的hinge loss了。
当然，如果\(U(x)\)本身就是非负的[比如EBGAN中用自编码器的MSE作为\(U(x)\)]，那么可以稍微修改一下式\(\eqref{eq:eq-e-hinge}\)：
\[\begin{equation}\mathbb{E}_{x\sim p(x)}\big[U(x)\big] + \mathbb{E}_{x\sim q(x)}\big[\max(0,m-U(x))\big]\label{eq:eq-e-hinge2}\end{equation}\]
其中\(m > 0\)。
优化器#
至于优化器的选择，其实从“跳坑”那张图我们就可以看出答案来。
带动量的优化器有利于我们更快地找到更好的极小值点，但是对于GAN来说，其实我们不需要跑到更好的极小值点，我们只需要跑到最近的极小值点，如果一旦跳出了最近的极小值点，跑到更低的极小值点，那么可能就丧失了多样性，甚至出现mode collapse。
比如下图中的\(\hat{x}_2\)，不带动量的优化算法能让\(\hat{x}_2\)跑到\(x_2\)处就停下来，如果带动量的话，那么可能越过\(x_2\)甚至跑到\(x_1\)去了。尽管\(x_1\)也是真样本，但是这样一来\(\hat{x}_1,\hat{x}_2\)同时向\(x_1\)靠拢，也许没有假样本能生成\(x_2\)了，从而丧失了多样性。
所以，在GAN的优化器中，动量不能太大，太大反而有可能丧失生成样本的多样性，或者造成其他的不稳定情况。同理，学习率也不能太大。总之，一切加速手段都不能太猛了。
Mode Collapse#
什么是mode collapse？为什么会发生mode collapse？还是可以用这个图景来轻松解释。
前面我们画的图把假样本\(\hat{x}\)画得很合理，但是如果一旦初始化不好、优化不够合理等原因，使得\(\hat{x}\)同时聚在个别坑附近，比如：
这时候按照上述过程优化，所有假样本都都往\(x_n\)奔了，所以模型只能生成单一（个别）样式的样本，这就是mode collapse。
简单来看，mode collapse是因为假样本们太集中，不够“均匀”，所以我们可以往生成器那里加一个项，让假样本有均匀的趋势。这个项就是假样本的熵\(H(X)=H(G(Z))\)，我们希望假样本的熵越大越好，这意味着越混乱、越均匀，所以生成器的目标可以改为
\[\begin{equation}G = \mathop{\text{argmin}}_{G} -H(G(Z)) + \mathbb{E}_{z\sim q(z)}\big[U(G(z))\big]\label{eq:eq-gg}\end{equation}\]
这样理论上就能解决mode collapse的问题。至于\(H(X)\)怎么算，我们后面会详细谈到。
能量视角之美#
对于GAN来说，最通俗易懂的视角当属“造假者-鉴别者”相互竞争的类比，这个视角直接导致了标准的GAN。但是，这个通俗的类比无法进一步延伸到WGAN乃至梯度惩罚等正则项的理解。
相比之下，能量视角相当灵活，它甚至能让我们直观地理解WGAN、梯度惩罚等内容，这些内容可以说是目前GAN领域最先进的部分成果了。虽然看起来能量视角比“造假者-鉴别者”形式上复杂一些，但其实它的物理意义也相当清晰，稍加思考，我们会感觉到它其实更为有趣、更具有启发性，有种“越嚼越有味”的感觉～