从动力学角度看优化算法（五）：为什么学习率不宜过小？
原文链接 | 2020-10-10 | 苏剑林
本文的主题是“为什么我们需要有限的学习率”，所谓“有限”，指的是不大也不小，适中即可，太大容易导致算法发散，这不难理解，但为什么太小也不好呢？一个容易理解的答案是，学习率过小需要迭代的步数过多，这是一种没有必要的浪费，因此从“节能”和“加速”的角度来看，我们不用过小的学习率。但如果不考虑算力和时间，那么过小的学习率是否可取呢？Google最近发布在Arxiv上的论文《Implicit Gradient Regularization》试图回答了这个问题，它指出有限的学习率隐式地给优化过程带来了梯度惩罚项，而这个梯度惩罚项对于提高泛化性能是有帮助的，因此哪怕不考虑算力和时间等因素，也不应该用过小的学习率。
对于梯度惩罚，本博客已有过多次讨论，在文章《对抗训练浅谈：意义、方法和思考（附Keras实现）》和《泛化性乱弹：从随机噪声、梯度惩罚到虚拟对抗训练》中，我们就分析了对抗训练一定程度上等价于对输入的梯度惩罚，而文章《我们真的需要把训练集的损失降低到零吗？》介绍的Flooding技巧则相当于对参数的梯度惩罚。总的来说，不管是对输入还是对参数的梯度惩罚，都对提高泛化能力有一定帮助。
降得最快的方向#
该论文跟这个系列的文章一样，将优化过程看成是求解微分方程。回顾之前的博文《从动力学角度看优化算法（三）：一个更整体的视角》，设损失函数为\(L(\boldsymbol{\theta})\)，我们将\(\boldsymbol{\theta}\)看成是看成是沿着某种时间参数\(t\)变化的轨迹\(\boldsymbol{\theta}(t)\)，现在我们考虑它的变化率：
\[\begin{equation}\frac{d}{dt}L(\boldsymbol{\theta}(t))=\left\langle\nabla_{\boldsymbol{\theta}}L(\boldsymbol{\theta}(t)),\, \dot{\boldsymbol{\theta}}(t)\right\rangle\end{equation}\]
我们希望\(L(\boldsymbol{\theta}(t))\)随着时间的变化是递减的（Loss越小越好），所以希望上式小于0，当模长\(\Vert\dot{\boldsymbol{\theta}}(t)\Vert\)固定时，上式右端的最小值在梯度的反方向\(-\nabla_{\boldsymbol{\theta}}L(\boldsymbol{\theta}(t))\)取到，所以我们说梯度的负方向下降得最快方向。简单期间，我们可以直接令
\[\begin{equation}\dot{\boldsymbol{\theta}}(t) = -\nabla_{\boldsymbol{\theta}}L(\boldsymbol{\theta}(t))\triangleq - \boldsymbol{g}(\boldsymbol{\theta}(t))\label{eq:odes}\end{equation}\]
那么求解参数\(\boldsymbol{\theta}\)就转化为求解上述常微分方程组，这也是“从动力学角度看优化算法”这个系列的基本出发点。
藏在学习率中的正则#
然而，实际的问题是，我们没法真正去求解微分方程组\(\eqref{eq:odes}\)，我们只能用数值迭代，比如采用最简单的欧拉法，得到
\[\begin{equation}\boldsymbol{\theta}_{t+\gamma} = \boldsymbol{\theta}_{t} - \gamma \boldsymbol{g}(\boldsymbol{\theta}_t)\label{eq:gd}\end{equation}\]
这其实就是最朴素的梯度下降法，其中\(\gamma\)也就是我们常说的学习率。上式本质上就是一个差分方程。
可以想象，从\(t=0\)出发，得到的点\(\boldsymbol{\theta}_{\gamma},\boldsymbol{\theta}_{2\gamma},\boldsymbol{\theta}_{3\gamma},\cdots\)与方程组\(\eqref{eq:odes}\)的精确解\(\boldsymbol{\theta}(\gamma),\boldsymbol{\theta}(2\gamma),\boldsymbol{\theta}(3\gamma),\cdots\)会有一定的出入。如何衡量出入到什么程度呢？不妨这样想象，\(\boldsymbol{\theta}_{\gamma},\boldsymbol{\theta}_{2\gamma},\boldsymbol{\theta}_{3\gamma},\cdots\)其实也是某个类似\(\eqref{eq:odes}\)的微分方程组的精确解，只不过对应的\(\boldsymbol{g}(\boldsymbol{\theta}(t))\)换成了某个新的\(\tilde{\boldsymbol{g}}(\boldsymbol{\theta}_t)\)，我们比较\(\tilde{\boldsymbol{g}}(\boldsymbol{\theta}_t)\)与\(\boldsymbol{g}(\boldsymbol{\theta}(t))\)的差异就好了。
经推导，如果仅保留到\(\gamma\)的一阶项，那么有
\[\begin{equation}\tilde{\boldsymbol{g}}(\boldsymbol{\theta}_t) = \boldsymbol{g}(\boldsymbol{\theta}_t) + \frac{\gamma}{4}\nabla_{\boldsymbol{\theta}}\Vert \boldsymbol{g}(\boldsymbol{\theta}_t)\Vert^2 = \nabla_{\boldsymbol{\theta}}\left(L(\boldsymbol{\theta}_t) + \frac{1}{4}\gamma\Vert \nabla_{\boldsymbol{\theta}} L(\boldsymbol{\theta}_t)\Vert^2\right)\end{equation}\]
推导过程我们放在下一节。可以看到，其实就相当于往损失函数里边加入了梯度惩罚形式的正则项\(\frac{1}{4}\gamma\Vert \nabla_{\boldsymbol{\theta}} L(\boldsymbol{\theta})\Vert^2\)，而梯度惩罚项有助于模型到达更加平缓的区域，有利于提高泛化性能。这也就是说，离散化的迭代过程隐式地带来了梯度惩罚项，反而是对模型的泛化是有帮助的，而如果\(\gamma\to 0\)，这个隐式的惩罚则会变弱甚至消失。
因此，结论就是学习率不宜过小，较大的学习率不仅有加速收敛的好处，还有提高模型泛化能力的好处。当然，可能有些读者会想，我直接把梯度惩罚加入到loss中，是不是就可以用足够小的学习率了？理论上确实是的，原论文将梯度惩罚加入到loss中的做法，称为“显式梯度惩罚”。
差分方程到微分方程#
对于差分方程到微分方程的转换，我们可以用普通的“摄动法”来求解，本博客也有过简单介绍（可以查看标签“摄动”）。不过更漂亮的解法是直接利用算符的级数运算来做，参考之前的文章《算符的艺术：差分、微分与伯努利数》。
我们用泰勒级数展开\(\boldsymbol{\theta}_{t+\gamma}\)：
\[\begin{equation}\boldsymbol{\theta}_{t+\gamma}=\boldsymbol{\theta}_{t}+\gamma \dot{\boldsymbol{\theta}}_{t} + \frac{1}{2}\gamma^2\ddot{\boldsymbol{\theta}}_{t} + \frac{1}{6}\gamma^3\dddot{\boldsymbol{\theta}}_{t} + \cdots\end{equation}\]
如果将对\(t\)求导的运算记为\(D\)，那么上式实际上是
\[\begin{equation}\boldsymbol{\theta}_{t+\gamma} = \left(1+\gamma D + \frac{1}{2}\gamma^2 D^2 + \frac{1}{6}\gamma^3 D^3 + \cdots\right)\boldsymbol{\theta}_{t} = e^{\gamma D}\boldsymbol{\theta}_{t}\end{equation}\]
所以差分方程\(\eqref{eq:gd}\)可以写为
\[\begin{equation}\left(e^{\gamma D} - 1\right)\boldsymbol{\theta}_{t} = - \gamma \boldsymbol{g}(\boldsymbol{\theta}_t)\end{equation}\]
跟常规的代数运算一样，我们有
\[\begin{equation}\begin{aligned} D\boldsymbol{\theta}_{t} =& - \gamma \left(\frac{D}{e^{\gamma D} - 1}\right)\boldsymbol{g}(\boldsymbol{\theta}_t)\\ =& - \left(1 - \frac{1}{2}\gamma D + \frac{1}{12}\gamma^2 D^2 - \frac{1}{720}\gamma^4 D^4 + \cdots\right)\boldsymbol{g}(\boldsymbol{\theta}_t) \end{aligned}\end{equation}\]
等号左端就是\(\dot{\boldsymbol{\theta}}_{t}\)，因此等号右端就是\(-\tilde{\boldsymbol{g}}(\boldsymbol{\theta}_t)\)的表达式了，保留到一阶项为
\[\begin{equation} - \left(1 - \frac{1}{2}\gamma D\right)\boldsymbol{g}(\boldsymbol{\theta}_t) = - \boldsymbol{g}(\boldsymbol{\theta}_t) + \frac{1}{2}\gamma \frac{d}{dt}\boldsymbol{g}(\boldsymbol{\theta}_t) = - \boldsymbol{g}(\boldsymbol{\theta}_t) + \frac{1}{2}\gamma \nabla_{\boldsymbol{\theta}}\boldsymbol{g}(\boldsymbol{\theta}_t)\dot{\boldsymbol{\theta}}_t \end{equation}\]
也就是
\[\begin{equation}\begin{aligned} \dot{\boldsymbol{\theta}}_{t} =& - \boldsymbol{g}(\boldsymbol{\theta}_t) + \frac{1}{2}\gamma \nabla_{\boldsymbol{\theta}}\boldsymbol{g}(\boldsymbol{\theta}_t)\dot{\boldsymbol{\theta}}_t\\ =&- \boldsymbol{g}(\boldsymbol{\theta}_t) + \frac{1}{2}\gamma \nabla_{\boldsymbol{\theta}}\boldsymbol{g}(\boldsymbol{\theta}_t)\left[- \boldsymbol{g}(\boldsymbol{\theta}_t) + \frac{1}{2}\gamma \nabla_{\boldsymbol{\theta}}\boldsymbol{g}(\boldsymbol{\theta}_t)\dot{\boldsymbol{\theta}}_t\right]\\ =&- \boldsymbol{g}(\boldsymbol{\theta}_t) - \frac{1}{2}\gamma \nabla_{\boldsymbol{\theta}}\boldsymbol{g}(\boldsymbol{\theta}_t)\boldsymbol{g}(\boldsymbol{\theta}_t)\quad\text{(略去二阶项)}\\ =&- \boldsymbol{g}(\boldsymbol{\theta}_t) - \frac{1}{4}\gamma \nabla_{\boldsymbol{\theta}}\Vert\boldsymbol{g}(\boldsymbol{\theta}_t)\Vert^2 \end{aligned}\end{equation}\]
所以一阶的\(\tilde{\boldsymbol{g}}(\boldsymbol{\theta}_t)=\boldsymbol{g}(\boldsymbol{\theta}_t) + \frac{1}{4}\gamma \nabla_{\boldsymbol{\theta}}\Vert\boldsymbol{g}(\boldsymbol{\theta}_t)\Vert^2\)，推导完毕。
例行公事的小总结#
深度学习的发展和普及离不开基于梯度下降的优化器的成功应用，而梯度下降为何能如此成功，依然还没得到深刻的解释。众多研究人员在“炼丹”过程中，多多少少也能总结出一些不知道为什么有效的“奇技淫巧”出来，诸如batch_size该取多大、学习率该怎么调，估计每个人也有自己的经验。
对于“学习率不能过小”这个现象，大家应该都有所体会，很多时候可能已经默认作为一个“常识”使用，而懒得思考背后的原理了。Google的这篇论文则为理解这个现象提供了一个可能的解释：适当而不是过小的学习率能为优化过程带来隐式的梯度惩罚项，有助于收敛到更平稳的区域。笔者认为其分析过程还是值得参考学习的。